Question

12．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正方形的周长和面积．

Answer 1

分析 根据题意得出正六边形的边长等于半径，求出周长，再由三角函数求出OH，即可得出正六边形的面积．

解答 解：解：连接OE、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=a，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OE=a，
∴正六边形的周长=6a；
作OH⊥ED，
则OH=OE•sin∠OED=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴正六边形的面积=6×$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²．

点评 本题考查的是正六边形的性质、正多边形和圆；根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．．