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【题目】如图,△ABC中,D为BC边上的点,∠CAD=∠CDA,E为AB边的中点.

(1)尺规作图:作∠C的平分线CF,交AD于点F(保留作图痕迹,不写作法);

(2)连结EF,EF与BC是什么位置关系?为什么?

(3)若四边形BDFE的面积为9,求△ABD的面积.

【答案】(1)作图见解析;

(2)EF∥BC,原因见解析;

(3)△ABD的面积为12

【解析】(本小题满分12分)

解:(1)尺规作图略;…………………………………………………………3分

(2)EF∥BC(即EF平行于BC).……………………………………1分

原因如下:如图1,∵∠CAD=∠CDA,

∴AC=DC(等角对等边),即△CAD为等腰三角形;…………………2分

又CF是顶角∠ACD的平分线,由“三线合一”定理,

知CF是底边AD的中线,即F为AD的中点,……………………………3分

结合E是AB的中点,得EF为△ABD的中位线,………………………4分

∴EF∥BD,从而EF∥BC;……………………………………………5分

(3)由(2)知EF∥BC,∴△AEF∽△ABD,…………………1分

,……………………………………………………………2分

又∵AE=AB,∴得

把S四边形BDFE=9代入其中,解得

△AEF=3,………………………………………………………………………3分

∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=3+9=12,……………………………4分

即△ABD的面积为12.

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