【题目】如图1，在三角形
中，把
绕点
顺时针旋转
得到
，把
绕点逆时针旋转，得到
,连接
，过点作
的垂线，交于点
，交于点
.
（特例尝试）如图2，当
时，
①求证：
；
②猜想与
的数量关系并说明理由.
（理想论证）在图1中，当
为任意三角形时，②中与的数量关系还成立吗？请给予证明.
（拓展应用）如图3，直线
与
轴，
轴分别交于、
两点，分别以
，为直角边在第二、一象限内作等腰
和等腰
，连接
，交轴于点
.试猜想
的长是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
【答案】[特例尝试]①见解析，②
，理由见解析；[理想论证]成立，证明见解析；[拓展应用]是定值，
.
【解析】
[特例尝试]①根据垂直的定义可得∠BAD=∠CAE=90°，用360°减去其它三个角即可证得
；②根据旋转的性质易证△BAC≌△DAE(SAS)，然后根据全等三角形对应边相等可得BC=DE,根据全等三角形对应角相等结合同角的余角相等可证∠DAG=∠EDA，根据等角对等边可证DG=AG，同理证明GE=AG即可证明；
[理想论证]过点
作
,交
延长线于点
，过点
做
,交于点
，通过证明三角形全等，根据全等三角形的性质可证；
[拓展应用]利用一次函数求得AO的长度，结合[理想论证]可知
.
[特例尝试]①证明：∵BA⊥AD,AC⊥AE
∴∠BAD=∠CAE=90°，
又∵
∴
②，证明如下：
由旋转的性质可得AD=AB，AE=AC，
又∵
，
∴△BAC≌△DAE(SAS)
∴∠EDA=∠CBA,∠DEA=∠BCA，BC=DE，
∵GF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB=90°，∠ABC+∠ACB=90°
∴∠ABC=∠CAF=∠DAG=∠EDA,
∴DG=AG，
同理可证GE=AG,
∴
.
[理想论证]成立，理由如下：
过点作,交延长线于点，过点做,交于点.
∵
∴
,
∵
∴
∴
∵
∴
∴
,
同理可得
,
∴
∵
∴
∴
∵
∴
[拓展应用]对于一次函数
，当y=0时，即
，
解得
,
∴
,
由题[理想论证]可知.
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【题目】小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
（2）小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线
的解析式为
，直线
的解析式为
，与
轴，
轴分别交于点
，点
，直线与交于点
.
（1）求点，点，点的坐标，并求出
的面积；
（2）若直线 上存在点
（不与重合），满足
，请求出点的坐标；
（3）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点
，且点
在点
的下方，轴上是否存在点
，使
为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函
数
有最大值；
②该函数图象关于直线
对称；
③当
时，函数y的值大于0；
④当
时，函数y的值都等于0．
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
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【题目】汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；
（1）每次只能移动1个碟片.
（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面.
如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将l号杆子上的
个碟片移动到2号杆子上最少需要
次，则
（ ）
A.31次B.33次C.63次D.65次
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【题目】如图1，在平面直角坐标系
中，点A的坐标是
，点C是x轴上的一个动点.当点C在x轴上移动时，始终保持
是等腰直角三角形（
，点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形
（此时点P与点B重合）.
（初步探究）
（1）写出点B的坐标________；
（2）点C在x轴上移动过程中，作
轴，垂足为点D，都有
，请在图2中画出当等腰直角
的顶点P在第四象限时的图形，并求证：.
（深入探究）
（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动.探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论，并求出这个图形所对应的函数表达式；
（4）直接写出
的最小值为________.
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【题目】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．
（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；
（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数
与一次函数
的
图像交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；
（3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图像于点B、C，连接OC，若BC=
OA，求△ABC的面积及点B、点C的坐标；
（4）在（3）的条件下，设直线交x轴于点D，在直线BC上确定点E，使得△ADE的周长最小，请直接写出点E的坐标．
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