Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点.当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形（，点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）.

（初步探究）

（1）写出点B的坐标________；

（2）点C在x轴上移动过程中，作轴，垂足为点D，都有，请在图2中画出当等腰直角的顶点P在第四象限时的图形，并求证：.

（深入探究）

（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动.探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论，并求出这个图形所对应的函数表达式；

（4）直接写出的最小值为________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）点P在直线上运动；；（4）8.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质即可求解；

（2）根据题意作图，再根据等腰直角三角形的性质判定；

（3）根据题意去特殊点，再利用待定系数法即可求解；

（4）当P在B点时，AP最小，故可求解.

（1）∵点A的坐标是，△为等腰直角三角形，

∴AO=BO

∴

（2）如图，

∵是等腰直角三角形，且∴

∵∴∴，

∵∴∴

在和中，∴

(3)点P在直线上运动；

∵两点确定一条直线

∴可以取两个特殊点

当P在y轴上时，，

∴

当P在x轴上时，，∴

设所求函数关系式为；

将和代入，得解得

所以所求的函数表达式为；

（4）如图，作AP⊥直线，即P与B点重合，

∴AP2=22+22=8.