Question

9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=k₁x与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于点A（2，1）与点E，AB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求直线y=k₁x与双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式k₁x＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集：-2＜x＜0或x＞2；
（3）如图2，点P（x，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P的直线l⊥x轴，分别与直线y=k₁x、双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于点C，D，连接AD．
①当点P在线段OB上（不与点O，B重合时），设△ACD的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，C，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标分别代入两个函数可求得结论；
（2）根据图象直接得出不等式k₁x＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集；
（3）①如图2，表示出CD=$\frac{2}{x}-\frac{1}{2}x$，PB=2-x，代入面积公式可求得S与x的函数关系式，并根据OB=2，写出x的取值；
②分三种情况：
i）当AB为对角线时，此时CQ与AB互相垂直平分，
根据中点坐标公式得：C（1，$\frac{1}{2}$），Q（3，$\frac{1}{2}$）；
ii）当AC为对角线时，此时过B作AC的垂线与AC交于点F，易得△ABF∽△AOB，由相似比可求得AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由两点之间的距离可求得C（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），Q（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
iii）当BC为对角线时，则AC=1，由两点的距离公式可求得C有两个值，根据横坐标不变，纵坐标减1可得此时对应的Q的坐标．

解答 解：（1）把A（2，1）代入y=k₁x中得：
2k₁=1，
k₁=$\frac{1}{2}$，
∴直线的表达式为：y=$\frac{1}{2}$x；
把A（2，1）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中得：
1=$\frac{{k}_{2}}{2}$，k₂=2，
∴双曲线的表达式为：y=$\frac{2}{x}$；
（2）如图1，∵点A（2，1），
∴E（-2，-1），
由图象得不等式k₁x＞$\frac{{k}_{2}}{x}$的解集：-2＜x＜0或x＞2，
故答案为：-2＜x＜0或x＞2；
（3）①如图2，∵P（x，0），
∴D（x，$\frac{2}{x}$），C（x，$\frac{1}{2}$x），
∴CD=$\frac{2}{x}-\frac{1}{2}x$，PB=2-x，
∴S=$\frac{1}{2}$CD•PB=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{x}-\frac{1}{2}x$）（2-x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}x$+$\frac{2}{x}$-1（0＜x≤2）；
②分三种情况：
i）如图3，当AB为对角线时，此时CQ与AB互相垂直平分，
根据中点坐标公式得：C（1，$\frac{1}{2}$），Q（3，$\frac{1}{2}$）；
ii）如图4，当AC为对角线时，此时过B作AC的垂线与AC交于点F，
∵∠AFB=∠ABO=90°，∠BAF=∠BAO，
∴△ABF∽△AOB，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AO}$，
∴$\frac{AF}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=2AF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵C（x，$\frac{1}{2}$x），A（2，1），
由两点之间的距离得：AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$，
25x²-100x+84=0
（5x-6）（5x-14）=0
x₁=$\frac{6}{5}$，x₂=$\frac{14}{5}$＞2（舍去），
∴OP=$\frac{6}{5}$，PC=$\frac{3}{5}$，PQ=PC+CQ=$\frac{3}{5}$+1=$\frac{8}{5}$，
则C（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），Q（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
iii）如图5，当BC为对角线时，则AC=AB=1，
∵C（x，$\frac{1}{2}$x），A（2，1），
由两点之间的距离得：AC=1=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{1}{2}x-1）^{2}}$，
x₁=2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，x₂=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴C₁$（2-\frac{2\sqrt{5}}{5}，1-\frac{\sqrt{5}}{5}）$，此时对应的Q（2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
C₂$（2+\frac{2\sqrt{5}}{5}，1+\frac{\sqrt{5}}{5}）$，此时对应的Q（2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
综上所述，点Q的坐标为：（3，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）或（2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题是一次函数和反比例函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、交点问题与不等式解集的关系、两点的距离、菱形的性质和判定，采用分类讨论的思想，第二问利用数形结合直接找出不等式的解集．