Question

【题目】在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．

（猜想）如图①，当∠C＝45°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为　 　度．

（探究）如图②，若∠C＝α．

（1）求证：△BCN≌△ACM．

（2）∠BDE的大小为　 　度（用含a的代数式表示）．

（应用）如图③，当∠C＝90°时，连结BE．若BC＝3，∠BAM＝15°，则△BDE的面积为　 　．

Answer 1

【答案】【猜想】135°；【探究】（1）详见解析；（2）α或（180﹣α）；【应用】9﹣9．

【解析】

猜想：如图（1）中，延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；

探究：（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；

（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AM的延长线上时，②如图4中，当点E在MA的延长线上时，分别计算即可；

应用：如图3，分别计算BD和DE的长，证明△EAD是等边三角形，根据三角形的面积公式可得结论．

猜想：证明：如图1中，延长ED交BC于点F，交AC于点O，

∵CB＝CA，

∴∠ABM＝∠BAN，

∵CA＝CB，BM＝AN，

∴CM＝CN，

∵∠C＝∠C，

∴△BCN≌△ACM（SAS），

∴∠CBN＝∠CAM，

∵E是AD的垂直平分线上的点，

∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AD∥BC，

∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，

∴∠BNC＝∠BFE，

∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，

∵∠C＝45°，∠FOC＝∠NOD，

∴∠NDO＝45°，

∴∠BDE＝135°，

故答案为：135°；

探究：

（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，

∴CA﹣AN＝CB﹣BM，

∴MC＝NC，

又∵∠C＝∠C，

∴△BCN≌△ACM（SAS）；

（2）分两种情况：

①如图2中，当点E在AM的延长线上时，

易证：∠CBN＝∠ADB＝∠CAN，∠ACB＝∠CAD，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴∠CAM+∠CAD＝∠BDE+∠ADB，

∴∠BDE＝∠CAD＝∠ACB＝α．

如图4中，当点E在MA的延长线上时，延长ED交BC的延长线于点F，

同理得△BCN≌△ACM（SAS），

∴∠CBN＝∠CAM，

同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，

∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，

∴∠ACB＝∠BDF＝α，

∴∠BDE＝180°﹣α．

故答案为：α或（180﹣α）；

应用：

如图3，同（2）得：∠BDE＝180°﹣∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠BAM＝15°，

∴∠CAM＝∠CBN＝30°，

Rt△BNC中，CN＝，BN＝，

∴AN＝AC﹣CN＝3﹣，

∵AD∥BC，

∴∠DAN＝∠ACB＝90°，∠ADN＝∠NBC＝30°，

∴DN＝2AN＝6﹣2，AD＝AN＝3﹣3，

∴BD＝BN+DN＝2+6﹣2＝6，

∵EA＝ED，∠EAD＝60°，

∴△EAD是等边三角形，

∴ED＝AD＝3﹣3，

∴S△BDE＝

故答案为：9﹣9．