Question

【题目】如图，矩形纸片，是的中点，是上一动点，沿折叠，点落在点处；延长交于点，连接.

（1）求证：≌；

（2）当时，将沿折叠，点落在线段上点处.

①求证：∽；

②如果，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6

【解析】

（1）依据“HL”进行证明即可；

（2）①由矩形的性质得AD∥BC，可得∠AME=∠CQF，然后由全等三角形的性质和折叠的性质得出，∠DQC=∠DQF，即可得到∠AMP=∠DQC，再由，即可证得∽；

②设，证得∽，依据相似三角形的对应边成比例可得，由∽得，可得，AM=x2+1，由折叠性质得DF=2x，然后在Rt△FDM中利用三角函数列出方程即可求出x的值，即可得到本题的答案．

解：（1）∵四边形是矩形

∴

根据折叠的性质可知：，

∵点为中点

∴

又∵

∴≌

（2）①∵四边形是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AME=∠CQF，

由（1）知≌，

∴，

∵将沿折叠，点落在线段上点处，

∴∠DQC=∠DQF，

∴∠AMP=∠DQC，

又∵，

∴∽；

②设，则，

由（1）知≌

∴

根据折叠的性质可知：，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，即

由∽得，，即，

，

又∵在中，，，

∵，

∴，整理得，，

解方程得：，（不合题意，舍去）．

∴．