Question

【题目】如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且AE2＝EGED．求证：DE⊥EF．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

根据斜边中线定理得出AE＝FE，再利用相似三角形的判定得出△AEG∽△DEA，进而利用相似三角形的性质和菱形的性质解答即可．

证明：∵AF⊥BC，

∴∠AFB＝90°．

∵点E是AB的中点，

∴AE＝FE．

∴∠EAF＝∠AFE．

∵AE2＝EGED，

∴．

∵∠AEG＝∠DEA，

∴△AEG∽△DEA．

∴∠EAG＝∠ADG．

∴∠AFE＝∠ADG．

∵∠AGD＝∠EGF，

∴∠DAG＝∠FEG．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC．

∴∠DAG＝∠AFB＝90°．

∴∠FEG＝90°．

∴DE⊥EF