Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点O为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．

（1）求证：CB与⊙O相切；

（2）若AB=6，求DF的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF=．

【解析】

（1）过O作OH⊥BC与H，根据直角三角形的性质得到OH=OB，证得OH=OA，于是得到结论；

（2）解直角三角形得到BC=AB=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：过O作OH⊥BC与H，

∵∠ACB=90°，

∴OH∥AC，

∵∠A=60°，

∴∠HOB=60°，

∴OH=OB，

∵3AO=AB，

∴OA=BO，

∴OH=OA，

∴CB与⊙O相切；

（2）解：∵AB=6，3AO=AB，

∴AE=4，OB=4，

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，

∴BC=AB=3，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

△OEF∽△OBC，

∴，

∴，，

∴，

∴DF=．