Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理得∠P=∠C，而∠1=∠C，则∠1=∠P，于是根据平行线的判定即可得到CB∥PB；
（2）解：连结OC，如图，有（1）得∠1=∠P=30°，再根据垂径定理得到

BC

=

BD

，则利用圆周角定理得∠BOC=2∠P=60°，于是可判断△BOC为等边三角形，所以OB=BC=3，
易得⊙O的直径为6．

解答：（1）证明：∵∠P=∠C，
而∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PB；
（2）解：连结OC，如图，
∵∠1=30°，
∴∠P=30°，
∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠BOC=2∠P=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB=BC=3，
∴⊙O的直径为6．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．