Question

如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形PQMN，使点Q落在线段AE上，点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD=EC，AE=DC，即可证到△DEC≌△EDA（SSS）；
（2）易证AF=CF，设DF=x，则有AF=4-x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长；
（3）过点E作EH⊥AC于点H，交EH于点G，如图2，设EP=x，然后运用相似三角形的性质求出PQ、GH的值（用x的代数式表示），从而得到矩形PQMN的面积（用x的代数式表示），然后只需运用配方法就可解决问题．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC．
由折叠可得：EC=BC，AE=AB，
∴AD=EC，AE=DC．
在△DEC和△EDA中，

DE=ED DC=EA EC=AD

，
∴△DEC≌△EDA．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCA=∠BAC．
由折叠可得∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF．
设DF=x，则AF=CF=DC-DF=AB-DF=4-x．
在Rt△ADF中，
∵AD²+DF²=AF²，
∴3²+x²=（4-x）²，
解得：x=

7

8

．
∴DF的值为

7

8

．

（3）解：过点E作EH⊥AC于点H，交EH于点G，设EP=x，如图2，
则有EG⊥PQ．
在Rt△AEC中，
∵AE=AB=4，EC=BC=AD=3，
∴AC=5．
∵S_△AEC=

1

2

AE•EC=

1

2

AC•EH，
∴EH=

AE•EC

AC

=

4×3

5

=

12

5

．
∵四边形PQMN是矩形，
∴PQ∥MN，
∴△EPQ∽△ECA，
∴

EG

EH

=

PQ

AC

=

EP

EC

，
∴

EG

12 5

=

PQ

5

=

x

3

，
∴EG=

4

5

x，PQ=

5

3

x，
∴GH=EH-EG=

12

5

-

4

5

x，
∴S_矩形PQMN=PQ•GH
=

5

3

x•（

12

5

-

4

5

x）
=-

4

3

x2+4x 
=-

4

3

（x²-3x）
=-

4

3

[（x-

3

2

）²-

9

4

]
=-

4

3

（x-

3

2

）²+3．
∵-

4

3

＜0，
∴当x=

3

2

时，S_矩形PQMN最大，最大值为3．
∴当线段PE的长为

3

2

时，矩形PQMN的面积最大，最大值为3．

点评：本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理、等腰三角形的判定、轴对称的性质等知识，综合性比较强．而运用相似三角形的性质及配方法是解决第（3）小题的关键．