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【题目】如图,在RtABC中,C=90°,以BC为直径的O交AB于点D,过点D作O的切线DE交AC于点E.

(1)求证:∠A=∠ADE;

(2)若AB=25,DE=10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.(用含字母a的式子表示).

【答案】(1)见解析;(2)75﹣a.

【解析】

(1)连接CD,求出∠ADC=90°,根据切线长定理求出DE=EC,即可求出答案;

(2)连接CD、OD、OE,求出扇形DOC的面积,分别求出ODEOCE的面积,即可求出答案

(1)证明:连接DC,

BC是O直径,

∴∠BDC=90°,

∴∠ADC=90°,

∵∠C=90°,BC为直径,

AC切O于C,

过点D作O的切线DE交AC于点E,

∴DE=CE,

∴∠EDC=∠ECD,

∵∠ACB=∠ADC=90°,

∴∠A+∠ACD=90°,∠ADE+∠EDC=90°,

∴∠A=∠ADE;

(2)解:连接CD、OD、OE,

∵DE=10,DE=CE,

∴CE=10,

∵∠A=∠ADE,

∴AE=DE=10,

∴AC=20,

∵∠ACB=90°,AB=25,

由勾股定理得:BC===15,

∴CO=OD=

的长度是a,

扇形DOC的面积是×a×=a,

DE、EC和弧DC围成的部分的面积S=××10+×10﹣a=75﹣a.

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