Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；
（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABE∽△ADF，推出$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AF}$，推出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AF}$，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．
（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=$\frac{EC}{CF}$，由△ABE∽△ADF，得$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，得DF=$\frac{4}{3}$x，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AF}$，∵∠BAD=∠EAF，
∴△AEF∽△ABD．

（2）解：如图连接AG．

∵△AEF∽△ABD，
∴∠ABG=∠AEG，
∴A、B、E、G四点共圆，
∴∠ABE+∠AGE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGM=∠MDF，
∴∠AMG=∠FMD，
∴∠MAG=∠EFC，
∴y=tan∠MAG=tan∠EFC=$\frac{EC}{CF}$，
∵△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，
∴DF=$\frac{4}{3}$x，
∴y=$\frac{4-x}{3+\frac{4}{3}x}$，
即y=$\frac{12-3x}{9+4x}$（0≤x≤4）．

（3）解：①如图2中，当点E在线段CB上时，

∵△AGM∽ADF，
∴tan∠MAG=$\frac{GM}{AG}$=$\frac{DF}{AD}$，
∴$\frac{12-3x}{9+4x}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{4}$，
解得x=$\frac{3}{2}$．

②如图3中，当点E在CB的延长线上时，

由△MAG∽△AFD∽△EFC，
∴$\frac{AD}{EC}$=$\frac{DF}{FC}$，
∴$\frac{4}{x+4}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{3-\frac{4}{3}x}$，
解得x=1，
∴BE的长为$\frac{3}{2}$或1．

点评 本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．