Question

20．如图所示，已知：$y=\frac{6}{x}$（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为0，b）（b＞0）．
动点M在y轴上，且在B点上方，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C．若四边形BQNC是菱形，面积为2$\sqrt{3}$，此时P点的坐标为（　　）

• A． （3，2）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3$\sqrt{3}$）
• C． （$4，\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）

Answer 1

分析 首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S_{四边形BQNC}=2$\sqrt{3}$，求出OA=3，于是求出P点坐标．

解答 解：连接BN，NC，
四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=$\frac{1}{2}$AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=NQ}\\{∠BQA=∠NQA}\\{QA=QA}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△ANQ（SAS），
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S_菱形BQNC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×CQ×BN，
令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2$\sqrt{3}$t，
∴t=1
∴BQ=2，
∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BQ=2$\sqrt{3}$，
∵∠BAO=30°
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3，
又∵P点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴P点坐标为（3，2）．
故选A．

点评 本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及菱形等知识．注意能证得∠BAQ=30°是关键．