Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C．直线y＝x+3经过点A、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t．

①若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．

②当射线MP，AC，MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①满足条件的t的值为2或﹣2+2或﹣2﹣2；②综合以上可得t的值为

【解析】

（1）先根据直线解析式求出A、C两点的坐标，把点A和C点的坐标代入y=-x2+bx+c得关于b和c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；

（2）当OC∥PM，且OC=PM时，以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，可得关于t的方程，解方程即可；

（3）分三种情况考虑，当MP平分AC、MO的夹角，当AC平分MP、MO的夹角，当MO平分AC、MP的夹角，可由图形的性质得关于t的方程求解．

（1）在y＝x+3中，令x＝0，y＝3；令y＝0，x＝﹣4，得A（﹣4，0），C（0，3），

代入抛物线y=-x2+bx+c解析式得：，

∴抛物线的解析式；

（2）设P（t，），

∵四边形OCMP为平行四边形，

∴PM＝OC＝3，PM∥OC，

∴M点的坐标可表示为（t，t+3），

∴PM＝，

∴|＝3，

当﹣t2﹣3t＝3，解得t＝2，

当﹣t2﹣3t＝﹣3，解得t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2，

综上所述，满足条件的t的值为2或﹣2+2或﹣2﹣2；

（3）如图1，

若当MP平分AC、MO的夹角，

则∠AMN＝∠OMN，

∵PN⊥OA，

∴AN＝ON，

∴t的值为﹣2；

如图2，

若AC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OA，CG⊥MP，

则CG＝CH，

∵，

∴OM＝OC＝3，

∵点M在直线AC上，

∴M（t，t+3），

∴MN2+ON2＝OM2，可得，，

解得t＝﹣，

如图3，

若MO平分AC、MP的夹角，则可得∠NMO＝∠OMC，过点O作OK⊥AC，

∴OK＝ON，

∵∠AKO＝∠AOC＝90°，∠OAK＝OAC，

∴△AOK∽△ACO，

∴，

∴，

∴OK＝，

∴t＝﹣，

综合以上可得t的值为．