Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣交x轴正半轴于点A（5，0），交y轴于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接AP，将射线AP绕点A逆时针旋转60°，与过点P且垂直于AP的直线交于点C，设点P横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；

（3）如图2，在（2）的条件下，过点C作直线交x轴于点D，在x轴上取点F，连接FP，点E为AC的中点，连接ED，若F的横坐标为-，∠AFP＝∠CDE，且∠FAP+∠ACD＝180°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣（2）m＝t2+t+3（3）-

【解析】

（1）把点A坐标代入即能求a的值．
（2）由AP⊥PC和旋转60°得∠PAC=60°得到特殊Rt△APC．利用已知点P、C的横坐标的条件，分别过点C、点P作坐标轴的垂线，构造三垂直模型下的相似，且相似比即为PC与AP的比．用t、m表示相似三角形对应边的长度，利用相似比为列方程，即得到m与t的关系式．
（3）由特殊Rt△APC中∠ACP=30°与点E为AC的中点的条件得到CE=AE=AP；构造PQ=AP（Q在x轴上）得∠PAQ=∠PQA，再由∠FAP+∠ACD=180°和∠FAP邻补角为∠PAN得到∠ACD=∠PAN，即得到∠ACD=∠PAQ=∠PQA，因此构造的△QFP与△CDE全等，得到QF=CD．由四边形APCD内角和为360°可求得∠CDF=60°，作CH⊥x轴构造特殊直角三角形，利用CH=MN即可以t的式子表示CH，进而用t表示CD．又易由t的式子表示QF，列方程即求得t的值．再代回（2）的式子即求出m的值．

（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣过点A（5，0），

∴25a﹣20a﹣＝0，

解得：a＝，

∴抛物线的解析式为；

（2）过点P作MN⊥x轴于点N，过点C作CM⊥MN于点M，

∴∠M＝∠ANP＝90°，

∴∠MCP+∠CPM＝90°.

∵CP⊥AP，

∴∠APC＝90°，

∴∠CPM+∠APN＝90°，

∴∠MCP＝∠APN，

∴△MCP∽△NPA，

∴，

∵∠APC＝90°，∠PAC＝60°，

∴∠ACP＝30°，tan∠PAC＝，

∴，即.

∵xP＝t，xC＝m，

∴MC＝t﹣m，PN＝yP＝，

∴t﹣m＝，

整理得：m＝，

（3）过点C作CH⊥x轴于点H，在x轴上取点Q，连接PQ且使PQ＝AQ，

∴∠CHD＝90°，∠PAN＝∠PQN，

∵∠ACP＝30°，∠APC＝90°，点E是AC中点，

∴AP＝AC＝CE＝AE，

∴CE＝PQ，

∵∠FAP+∠ACD＝180°，∠FAP+∠PAN＝180°，

∴∠ACD＝∠PAN，

∴∠ACD＝∠PQN，

在△CDE与△QFP中

，

∴△CDE≌△QFP（AAS），

∴CD＝QF，

由（1）得，AN＝t﹣5，PM＝，PN＝，

∴CH＝MN＝PM+PN＝＝.

∵∠CDH＝360°﹣∠CDP﹣∠APC﹣∠FAP＝360°﹣（∠ACD+∠FAP）﹣∠ACP﹣∠APC＝360°﹣180°﹣30°﹣90°＝60°，

∴sin∠CDH＝，

∴CD＝＝，

∵F（﹣，0），

∴QF＝AF+AQ＝AF+2AN＝5﹣（﹣）+2（t﹣5）＝2t﹣，

∴，

解得：t1＝﹣3，t2＝7，

∵点P在第一象限，t＞5，

∴t＝7，

∴m＝.