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【题目】1)如图(1),已知:在ABC中,∠BAC90°ABAC,直线m经过点ABD⊥直线mCE⊥直线m,垂足分别为点DE.证明:DEBD+CE

2)如图(2),将(1)中的条件改为:在ABC中,ABACDAE三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BACα,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DEBD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

3)拓展与应用:如图(3),DEDAE三点所在直线m上的两动点(DAE三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且ABFACF均为等边三角形,连接BDCE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断DEF的形状并说明理由.

【答案】1)见解析. 2)见解析. 3DEF为等边三角形.见解析.

【解析】

1)根据BD⊥直线mCE⊥直线m得∠BDA=∠CEA90°,而∠BAC90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断ADB≌△CEA,则AEBDADCE,于是DEAE+ADBD+CE

2)由∠BDA=∠AEC=∠BAC120°,就可以求出∠BAD=∠ACE,进而由AAS就可以得出BAD≌△ACE,就可以得出BDAEDACE,即可得出结论;

3)由等边三角形的性质,可以求出∠BAC120°,就可以得出BAD≌△ACE,就有BDAE,进而得出BDF≌△AEF,得出DFEF,∠BFD=∠AFE,而得出∠DFE60°,就有DEF为等边三角形.

1)如图1

BD⊥直线mCE⊥直线m

∴∠BDA=∠CEA90°

∵∠BAC90°

∴∠BAD+CAE=90°

∵∠BAD+ABD90°

∴∠CAE=∠ABD

ADBCEA中,

∴△ADB≌△CEAAAS),

AEBDADCE

DEAE+ADBD+CE

2)如图2

∵∠BDA=∠BACα

∴∠DBA+BAD=∠BAD+CAE180°α

∴∠DBA=∠CAE

ADBCEA中,

∴△ADB≌△CEAAAS),

AEBDADCE

DEAE+ADBD+CE

3)如图3

由(2)可知,ADB≌△CEA

BDAE,∠DBA=∠CAE

∵△ABFACF均为等边三角形,

∴∠ABF=∠CAF60°BFAF

∴∠DBA+ABF=∠CAE+CAF

∴∠DBF=∠FAE

∵在DBFEAF中,

∴△DBF≌△EAFSAS),

DFEF,∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+AFE=∠DFA+BFD60°

∴△DEF为等边三角形.

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