Question

8．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，其顶点为D．线段BC与抛物线的对称轴交于点E．
（1）直接写出点B、点C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）求线段DE的长度．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出B点坐标，令x=0，求出C点坐标，进而求出抛物线对称轴；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，求出k和b的值，进而求出E点坐标，即可求出DE的长．

解答 解：（1）令y=-x²+2x+3=0，
解得x=3或x=-1，
即点B的坐标为（3，0），
令x=0，y=3，
即点C的坐标为（0，3），
y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1）+4=-（x-1）²+4，
即抛物线的对称轴为x=1；点D坐标为（1，4）；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴点E（1，2），
∵点D坐标为（1，4）；
∴DE=4-2=2．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出直线BC的解析式，此题难度不大．