Question

【题目】中，，点是边上不与点重合的一点，作交边于点．

如图1，将沿直线翻折，得到，作．求证：；

将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点分别为点

①如图2，当点在内部时，连接和，求证：；

②如果连接且那么请直接写出点到直线的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②点到直线的距离为或

【解析】

（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；

（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；

②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC的距离．

证明：将沿直线翻折，得到

，

，

，

旋转，

，

，

若点在直线下方，如图，过点作，过点作交的延长线于

，

，

，

旋转，

，且

，，

，

，

，

，

，且

，

点到直线的距离为

若点在直线的上方，如图，过点作交的延长线于点，

同理可证：，

点到直线的距离为

综上所述：点到直线的距离为或．