Question

【题目】已知，如图，在平面直角坐标系中，直线AB：交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B，点C（2，0）．

（1）如图1，求直线AB的解析式；

（2）如图2，点D为第二象限内一点，且AD=DC，DC交直线AB于点E，设DE：EC=m，点D的纵坐标为d，求d与m的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，直线AD交y轴于点F，点P为线段AF上一点，G为y轴负半轴上一点，PG=AB，且∠PGF+∠BAF=∠AFB，当m=1时，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）将点A（4，0）代入，求出b＝1即可；

（2）由已知可得D（1，d），求出CD的直线解析式为，再由E是两直线的交点，求出E（，），过点D作DQ⊥x轴于Q，作EN∥x轴交DQ于N，则，由EC：CD＝1：（m＋1），即可求出d＝；

（3）过点P作PH⊥y轴于点H，截取HM＝HG，求出直线AD的解析式为，则F（0，3），tan∠AFB＝，所以FH＝PH，易证Rt△PHG≌RtPHM，由角的关系得到∠MPF＝∠FAB，构造△PKM≌△AFB，可得FB＝MK＝MF，求出FB＝MK＝MF＝2，在Rt△PHM中，根据PM2＝PH2＋MH2，求出PH＝，FH＝，最后求出OG＝HGOH＝，即可求解．

解：（1）将点A（4，0）代入，得，

∴b＝1，

∴直线AB的解析式为；

（2）∵AC＝6，AD＝DC，

∴D的横坐标为1，

∵点D的纵坐标为d，

∴D（1，d），

设直线CD的解析式为，

代入D（1，d），C（2，0）得：，解得：，

∴直线CD的解析式为，

联立，可得E（，），

如图，过点D作DQ⊥x轴于Q，作EN∥x轴交DQ于N，

则，

∵DE：EC＝m，

∴EC：CD＝1：（m＋1），

∴，

∴d＝；

（3）如图，过点P作PH⊥y轴于点H，截取HM＝HG，

∵m＝1，

∴d＝，

∴D（1，），

设直线AD的解析式为，

代入A（4，0），D（1，）得：，解得：，

∴直线AD的解析式为，

∴F（0，3），

∴tan∠AFB＝，

∴，

∴FH＝PH，

易证Rt△PHG≌Rt△PHM（HL），

∴PG＝PM＝AB，∠PGH＝∠PMH，

∴∠AFB＝∠PMF＋∠MPF，

∵∠PGF＋∠BAF＝∠AFB，

∴∠MPF＝∠FAB，

构造△PKM≌△AFB，

则∠MFK＝∠AFB＝∠PKM，

∴FB＝MK＝MF，

∵OF＝3，OB＝1，

∴FB＝MK＝MF＝2，

在Rt△PHM中，PM2＝PH2＋MH2，

∵AB＝，

∴17＝PH2＋（2＋PH）2，

∴PH＝，

∴FH＝，

∴HG＝HM＝2＋＝，OH＝3＝，

∴OG＝HGOH＝，

∴G（0，）．