Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的斜边OB在x轴上，直线经过等腰的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线也经过A点连接BC．

求k的值；

判断的形状，并求出它的面积．

若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是直角三角形，S△ABC=8；

（3）在双曲线上存在一点，使得是以点A为直角顶点的等腰三角形.

【解析】

（1）过点A分别作轴于M点，轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为，因为点A在直线上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）利用勾股定理逆定理即可判断出三角形ABC是直角三角形，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）由“边角边”易证≌，得出，那么是所求的等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．

解：如图1，

过点A分别作轴于Q点，轴于N点，

是等腰直角三角形，

，

设点A的坐标为，

点A在直线上，

，

解得，

则点A的坐标为，

双曲线也经过A点，

；

由知，，

，

直线与y轴的交点为C，

，

，，

，

是直角三角形；

则S△ABC=AB·BC=；

如图2，

假设双曲线上存在一点M，使得是等腰直角三角形；

，，

连接AM，BM，

由知，，

反比例函数解析式为，

，

在和中，

，

≌，

，

，

点M的横坐标为4，

；

即：在双曲线上存在一点，使得是以点A为直角顶点的等腰三角形.