Question

【题目】如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的序号为（　　）

A.①②③B.①②C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；无法判断PB=PC故△BRP≌△QSP错误，然后根据线段垂直平分线的判定即可得到AP垂直平分RS．

∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
连接AP．

∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
无法判断PB=PC，故④错误；
连接RS，

∵PR=PS，
∴点P在RS的垂直平分线上，
∵AS=AR，
∴点A在RS的垂直平分线上，
∴AP垂直平分RS，∴①正确．
故选：A．