【题目】如图,在中,,垂足为,为直线上一动点(不与点重合),在的右侧作,使得,连接.
(1)求证:;
(2)当在线段上时
① 求证:≌;
② 若, 则;
(3)当CE∥AB时,若△ABD中最小角为20°,试探究∠ADB的度数(直接写出结果)
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②证明见解析;(3)20°或40°或100°.
【解析】
(1)证明Rt△AHB≌Rt△AHC(HL),即可解决问题.
(2)①根据SAS即可证明;
②D运动到BC中点(H点)时,AC⊥DE;利用等腰三角形的三线合一即可证明;
(3)分三种情形分别求解即可解决问题;
(1)∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHC=90°,
在Rt△AHB和Rt△ACH中,
,
∴Rt△AHB≌Rt△AHC(HL),
∴∠ABC=∠ACB.
(2)①如图1中,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE.
②D运动到BC中点(H点)时,AC⊥DE;
理由:如图2中,∵AB=AC,AH⊥BC,
∴∠BAH=∠CAH,
∵∠BAH=∠CAE,
∴∠CAH=∠CAE,
∵AH=AE,
∴AC⊥DE.
(3)∠ADB的度数为20°或40°或100°.
理由:①如图3中,当点D在CB的延长线上时,
∵CE∥AB,
∴∠BAE=∠AEC,∠BCE=∠ABC,
∵△DAB≌△EAC,
∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,
∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等边三角形,
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°,则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°.
②当点D在线段BC上时,最小角只能是∠DAB=20°,此时∠ADB=180°-20°-60°=100°.
③当点D在BC 延长线上时,最小角只能是∠ADB=20°,
综上所述,满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°.
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【题目】如图,已知l1∥l2,射线MN分别和直线l1,l2交于A、B,射线ME分别和直线l1,l2交于C、D,点P在A、B间运动(P与A、B两点不重合),设∠PDB=α,∠PCA=β,∠CPD=γ.
(1)试探索α,β,γ之间有何数量关系?说明理由.
(2)如果BD=3,AB=9,AC=6,并且AC垂直于MN,那么点P运动到什么位置时,△ACP≌△BPD说明理由.
(3)在(2)的条件下,当△ACP≌△BPD时,PC与PD之间有何位置关系,说明理由.
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【题目】如图,将长方形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为( )
A. 62°B. 56°C. 31°D. 28°
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【题目】完成下面推理过程:
如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD( ),
∴∠2=∠CGD( ).
∴CE∥BF( ).
∴∠ =∠C( ).
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠ =∠B(等量代换).
∴AB∥CD( ).
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【题目】如图,将三角形ABC向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度请回答下列问题:
(1)平移后的三个顶点坐标分别为:A1 ,B1 ,C1 ;
(2)画出平移后三角形A1B1C1;
(3)求三角形ABC的面积.
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【题目】已知抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A(-1,0)、B(2,3).
(1)求a、b、c的值;
(2)直接写出当y1<y2时,自变量的范围是__________________________.
(3)若点C是抛物线的顶点,求△ABC的面积.
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【题目】分已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围.
(2)若|x1|=|x2|,求m的值及方程的根.
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