Question

【题目】如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．

（1）试探索α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．

（2）如果BD=3，AB=9，AC=6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．

（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠γ=α+∠β；（2）当AP=BD=3，△ACP≌△BPD.（3）CP⊥PD

【解析】

（1）过点P作PF∥l1，根据l1∥l2，可知PF∥l2，故可得出∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，由此即可得出结论；

（2）根据平行线的性质得到BD⊥MN，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到∠ACP=∠DPB，根据垂直的定义即可得到结论．

解：（1）∠γ=α+∠β，

理由：过点P作PF∥l1（如图1），

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，

∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；

（2）当AP=BD=3，△ACP≌△BPD，

∵l1∥l2，AC垂直于MN，

∴BD⊥MN，

∴∠CAP=∠PBD=90°，

∵AB=9，

∴PB=6，

∴AC=PB，

在△CAP与△PBD中，，

∴△ACP≌△BPD，

∴当AP=3时，△ACP≌△BPD；

（3）CP⊥PD，

理由：∵△ACP≌△BPD，

∴∠ACP=∠DPB，

∵∠ACP+∠APC=90°，

∴∠APC+∠DPB=90°，

∴∠CPD=90°，

∴CP⊥PD．