Question

4．如图，B在AE上，C在BG上，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，连结AG和EC．
（1）求证：△ABG≌△CBE；
（2）求证：AG⊥EC．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC，∠ABG=∠CBE=90°，BG=BE，由SAS证明△ABG≌△CBE即可；
（2）延长EC交AG于M，由全等三角形的性质得出∠G=∠E，由角的互余关系和对顶角相等得出∠G+∠GCM=90°，因此∠GMC=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=BC，∠ABG=∠CBE=90°，BG=BE，
在△ABG和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABG=∠CBE}&{\;}\\{BG=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE（SAS）；
（2）证明：延长EC交AG于M，如图所示：
由（1）得：△ABG≌△CBE，
∴∠G=∠E，
∵∠E+∠BCE=90°，∠GCM=∠BCE，
∴∠G+∠GCM=90°，
∴∠GMC=90°，
∴AG⊥EC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、对顶角相等；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．