Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____．

Answer 1

【答案】（0，3）、（4，0）、（，0）

【解析】

分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．

解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，

由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，

此时P点坐标为（0，3）；

当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，

由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，

此时P点坐标为（4，0）；

当PC⊥AB时，如图，

∵∠CAP＝∠OAB，

∴Rt△APC∽Rt△ABO，

∴，

∵点A（8，0）和点B（0，6），

∴AB＝＝10，

∵点C是AB的中点，

∴AC＝5，

∴，

∴AP＝ ，

∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，

此时P点坐标为（，0），

综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．

故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）