Question

13．如图，平行四边形ABCD中，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程
x²+（2m-1）x+m²+3=0的根．
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD为矩形；
（2）当m为何值时，平行四边形ABCD周长为20的菱形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的判定可得AC=BD，则平行四边形ABCD为矩形，因此AO=BO，进而说明方程x²+（2m-1）x+m²+3=0的两根相等，故△=0，然后可得方程（2m-1）²-4（m²+3）=0，再解即可；
（2）菱形ABCD的边长是5，则AO²+BO²=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=2m-1，AO•BO=m²+3，代入AO²+BO²中，得到关于m的方程后，求得m的值．

解答 解：（1）∵当AO=BO时，AC=BD，则平行四边形ABCD为矩形，
∴关于x的方程x²+（2m-1）x+m²+3=0的两根相等，
∴△=0，
∴（2m-1）²-4（m²+3）=0，
解得：m=-$\frac{11}{4}$；

（2）∵菱形ABCD的周长为20，
∴菱形的边长AB=5，
由直角三角形的三边关系可得：AO²+BO²=25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m-1，AO•BO=m²+3，
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO=（2m-1）²-2×（m²+3）=25，
整理得：2m²-4m-5=25，
解得：m=5或-3（舍去）．
故m=5．

点评 本题考查菱形和矩形的判定，以及一元二次方程根与系数的关系，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相互相垂直的平行四边形是菱形．