Question

【题目】已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，

（1）如图：P为AD上的一点，满足；

① ；

② 求AP的长

（2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程）

Answer 1

【答案】（1）① 见解析；② AP的长为1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的长为2．

【解析】

（1）①当∠BPC＝∠A时，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似．

②利用相似三角形的性质可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长．

（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式．

②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可．

（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．

∴∠A＝∠D

∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A

∴∠ABP＝∠DPC，

∴△ABP∽△DPC．

②∵△ABP∽△DPC，

∴，即：，

解得：AP＝1或AP＝4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ

∴，即：，

∴y＝x2＋x2（1＜x＜4）．

②当CE＝1时，

∵△PDQ∽△ECQ，

∴，即或，

∵y＝x2＋x2，

解得：x＝2或3，

∴PA＝2或3．