Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=OB，E为AB的中点，

∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，

∵OE⊥AB，E为OD中点，

∴OE=OD=OA，

∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，

设OA=x，则OE=x，AE=x，

∵AB=4，

∴AB=2AE=x=4，

解得：x=4，

则的长l==；

（2）

证明：由1得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，

∴∠BAM=∠BMA=30°，

∴AB=BM，

∵BM为圆O的切线，连接OB,如图所示，

∴OB⊥BM，

在△COM和△BOM中，

，

∴△COM≌△BOM（SAS），

∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，

∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，

∴CM∥AB，

∴四边形ABMC为菱形．

【解析】（1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长；
（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
【考点精析】关于本题考查的菱形的判定方法和切线的性质定理，需要了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．