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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=,有以下的结论:①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).

【答案】②③
【解析】解:①∵∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAD,
∴△ADE∽△ABD;
故①错误;
②作AG⊥BC于G,
∵∠ADE=∠B=α,tan∠α=


∴cosα=
∵AB=AC=15,
∴BG=12,
∴BC=24,
∵CD=9,
∴BD=15,
∴AC=BD.
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC,∠ADE=∠C=α,
∴∠EDB=∠DAC,
在△ACD与△DBE中,

∴△ACD≌△BDE(ASA).
故②正确;
③当∠BED=90°时,由①可知:△ADE∽△ABD,
∴∠ADB=∠AED,
∵∠BED=90°,
∴∠ADB=90°,
即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=,AB=15,

∴BD=12.
当∠BDE=90°时,易证△BDE∽△CAD,
∵∠BDE=90°,
∴∠CAD=90°,
∵∠C=α且cosα=,AC=15,
∴cosC=
∴CD=
∵BC=24,
∴BD=24﹣=
即当△DCE为直角三角形时,BD=12或
故③正确;
④易证得△BDE∽△CAD,由②可知BC=24,
设CD=y,BE=x,


整理得:y2﹣24y+144=144﹣15x,
即(y﹣12)2=144﹣15x,
∴0<x≤
∴0<BE≤
故④错误.
故正确的结论为:②③.
故答案为:②③.

①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明;
②由CD=9,则BD=15,然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等,即可证得;
③分两种情况讨论,通过三角形相似即可求得;
④依据相似三角形对应边成比例即可求得.

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C.6
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B.①④
C.②③
D.②④

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A.8
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C.
D.

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