Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）两点．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：把点A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得：

∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

如图1：过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，

∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，

∴CE=1，

∵AO=BO=3，

∴∠ABO=45°，

∴∠CBE=45°，

∴BE=CE=1，

∴OE=OB+BE=4，

∴点C的坐标为（﹣1，4）；

（3）

假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，如图2：

连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB==，

∵S△APB=3，

∴PD=

∵∠PFD=∠ABO=45°，

∴PF=2，

设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴直线AB的解析式为y=x+3，

∴可设点F的坐标为（m，m+3），

①当点P在直线AB上方时，

可得：﹣m2﹣2m+3=m+3+2，

解得：m=﹣1或﹣2，

∴符合条件的点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），

②当点P在直线AB下方时，

可得：﹣m2﹣2m+3=m+3﹣2，

解得：m=或，

∴符合条件的点P坐标为（，）或（，）

综上可知符合条件的点P有4个，坐标分别为：（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．

【解析】（1）把点A（﹣3，0），B（0，3）两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c的值即可；
（2）过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，易求点C的横坐标，再求出OE的长，即可得到点C的纵坐标；
（3）假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB==3，设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设点F的坐标为（m，m+3），再分两种情况①当点P在直线AB上方时，②当点P在直线AB下方时分别讨论求出符合条件点P的坐标即可．