【题目】已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1 , 0),B(x2 , 0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.
(1)求点C的坐标
(2)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;
(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值.
【答案】
(1)
解:令x=0,则y=c,
故C(0,c),
∵OC的距离为3,
∴|c|=3,即c=±3,
∴C(0,3)或(0,﹣3);
(2)
解:∵x1x2<0,
∴x1,x2异号,
①若C(0,3),即c=3,
把C(0,3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=3,即t=3,
∴y2=﹣3x+3,
把A(x1,0)代入y2=﹣3x+3,则﹣3x1+3=0,
即x1=1,
∴A(1,0),
∵x1,x2异号,x1=1>0,∴x2<0,
∵|x1|+|x2|=4,
∴1﹣x2=4,
解得:x2=﹣3,则B(﹣3,0),
代入y1=ax2+bx+3得,,
解得:,
∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
则当x≤﹣1时,y随x增大而增大.
②若C(0,﹣3),即c=﹣3,
把C(0,﹣3)代入y2=﹣3x+t,则0+t=﹣3,即t=﹣3,
∴y2=﹣3x﹣3,
把A(x1,0),代入y2=﹣3x﹣3,
则﹣3x1﹣3=0,
即x1=﹣1,
∴A(﹣1,0),
∵x1,x2异号,x1=﹣1<0,∴x2>0
∵|x1|+|x2|=4,
∴1+x2=4,
解得:x2=3,则B(3,0),
代入y1=ax2+bx+3得,,
解得:,
∴y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
则当x≥1时,y随x增大而增大,
综上所述,若c=3,当y随x增大而增大时,x≤﹣1;
若c=﹣3,当y随x增大而增大时,x≥1;
(3)
解:①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,
y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=﹣(x+1+n)2+4,
则当x≤﹣1﹣n时,y随x增大而增大,
y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x+3﹣n,
要使平移后直线与P有公共点,则当x=﹣1﹣n,y3≥y4,
即﹣(﹣1﹣n+1+n)2+4≥﹣3(﹣1﹣n)+3﹣n,
解得:n≤﹣1,
∵n>0,∴n≤﹣1不符合条件,应舍去;
②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,
y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x﹣1+n)2﹣4,
则当x≥1﹣n时,y随x增大而增大,
y2向下平移n个单位后,则解析式为:y4=﹣3x﹣3﹣n,
要使平移后直线与P有公共点,则当x=1﹣n,y3≤y4,
即(1﹣n﹣1+n)2﹣4≤﹣3(1﹣n)﹣3﹣n,
解得:n≥1,
综上所述:n≥1,
2n2﹣5n=2(n﹣)2﹣,
∴当n=时,2n2﹣5n的最小值为:﹣.
【解析】(1)利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标,再利用O,C两点间的距离为3求出即可;
(2)分别利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,﹣3),即c=﹣3,得出A,B点坐标,进而求出函数解析式,进而得出答案;
(3)利用①若c=3,则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,得出y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=﹣(x+1+n)2+4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,②若c=﹣3,则y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,y1向左平移n个单位后,则解析式为:y3=(x﹣1+n)2﹣4,进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围,进而利用配方法求出函数最值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=,有以下的结论:①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是 (填入正确结论的序号).
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【题目】如图,已知BD平分∠ABF,且交AE于点D,
(1)求作:∠BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当AC⊥BD时,求证:四边形ABCD是菱形.
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(1)如图1,连接BD,AF,则BD AF(填“>”、“<”或“=”);
(2)如图2,M为AB边上一点,过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,连接BH,GF,求证:BH=GF.
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【题目】小丽为了测旗杆AB的高度,小丽眼睛距地面1.5米,小丽站在C点,测出旗杆A的仰角为30°,小丽向前走了10米到达点E,此时的仰角为60°,求旗杆的高度.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F是AD上的点,且AE=EF=FD.连接BE、BF,使它们分别与AO相交于点G、H.
(1)(1)求EG:BG的值;
(2)(2)求证:AG=OG;
(3)(3)设AG=a,GH=b,HO=c,求a:b:c的值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90°,AC=10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上).则此正方形的面积是 .
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作分、FG∥CD,交AE于点G连接DG.
(1)求证:四边形DEFG为菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求的值.
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