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【题目】如图 1,在平面直角坐标系中,图形 W在坐标轴上的投影长度定义如下设点 P( , ) ,Q( , ) 是图形 W 上的任意两点的最大值为 m

图形 W x 轴上的投影长度为 lx m 的最大值为 n ,则图形 W y 轴上的

投影长度为 ly n .如图 1,图形 W x 轴上的投影长度为 lx 4 ; y 轴上的 投影长度为 ly 3 .

(1)已知点 A(1, 2) , B(2, 3) , C (3,1) ,如图 2 所示若图形 W 为四边形 OABC

lx ly

(2)已知点 C (, 0) , D 在直线 y x 1(x 0) 若图形 W OCD lx ly

求点 D 的坐标;

(3 )若图形 W 为函数 y x 2(a x b) 的图象,其中 (0 a b) ,当该图形满足

lx ly 1请直接写出 a 的取值范围.

1 2

【答案】(1)4,3;(2)(-)或(-10,-14);(3) .

【解析】

(1)确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标,于是可求得问题的答案;
(2)过点P作PD⊥x轴,垂足为P.设D(x,2x+6),则PD=|2x+6|.PC=|3-x|,然后依据lx=ly,列方程求解即可;
(3)设A(a,a2)、B(b,b2).分别求得图形在y轴和x轴上的投影,由lx=ly可得到b+a=1,然后根据0≤a<b可求得a的取值范围.

解:(1)∵A(3,3),
∴点A在y轴上的正投影的坐标为(0,3).
∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3.
∵B(4,1),
∴点B在x轴上的正投影的坐标为(4,0).
∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4.
故答案为:4;3.
(2)如图1所示;过点P作PD⊥x轴,垂足为P.

设D(x,2x+6),则PD=2x+6.
∵PD⊥x轴,
∴P(x,0).
∴PC=4-x.
∵lx=ly
∴2x+6=4-x,解得;x=-
∴D(-).
如图2所示:过点D作DP⊥x轴,垂足为P.

设D(x,2x+6),则PD=-2x-6.
∵PD⊥x轴,
∴P(x,0).
∴PC=4-x.
∵lx=ly
∴-2x-6=4-x,解得;x=-10.
∴D(-10,-14).
综上所述,点D的坐标为(-)或(-10,-14).
(3)如图3所示:

设A(a,a2)、B(b,b2).则CE=b-a,DF=b2-a2=(b+a)(b-a).
∵lx=ly
∴(b+a)(b-a)=b-a,即(b+a-1)(b-a)=0.
∵b≠a,
∴b+a=1.
又∵0≤a<b,
∴a+a<1,
∴0≤a<.

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(深入探究)

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1)如图①,在ABCDEF中,ACDFBCEF,∠B=∠E90°,根据______,可以知道RtABCRtDEF

第二种情况:当∠B是钝角时,ABC≌△DEF

2)如图②,在ABCDEF中,ACDFBCEF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角求证:ABC≌△DEF

第三种情况:当∠B是锐角时,ABCDEF不一定全等

3)在ABCDEF中,ACDFBCEF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角请你用直尺在图③中作出DEF,使DEFABC不全等,并作简要说明.

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