Question

如图，已知△ABC和△DFC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连接BD和AE
（1）求证：AE=BD；
（2）求∠AHB的度数；
（3）求证：DF=GE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）证明△BCD≌△ACE，根据全等三角形的性质证得；
（2）根据全等三角形的性质，以及在△ABH中利用三角形内角和定理即可求解；
（3）证明△DFC≌△EGC，根据全等三角形的性质证得．

解答：（1）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠BCD=∠ACE CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：由（1）得△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD，
又∵∠CBD+∠DBA=60°
∴∠CAE+∠ABD=60°．
在△ABH中，∠BAC+∠ABD+∠CAE+∠AHB=180°
∴∠AHB=60°；

（3）证明：由（1）证得：△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、E在同一直线上，
∴∠ACD=60°，
∵DCE是等边三角形，
∴DC=CE．
在△DFC和△EGC中，

∠DCF=∠DCE DC=EC ∠FDC=∠CEG

，
∴△DFC≌△EGC（ASA）
∴DF=EG，
即DF=GE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等或角相等，常用的方法是转化为所在的三角形全等．