Question

18．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为$\widehat{AB}$的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$）cm²．

Answer 1

分析 连结OC，过C点作CF⊥OA于F，先根据空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积-三角形OCD的面积，求得空白图形ACD的面积，再根据三角形面积公式得到三角形ODE的面积，再根据图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积，列式计算即可求解．

解答 解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，
∵半径OA=2cm，C为$\widehat{AB}$的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°，
∴CF=$\sqrt{2}$，
∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积-三角形OCD的面积
=$\frac{45×π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{2}$
=$\frac{1}{2}$π-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cm²）
三角形ODE的面积=$\frac{1}{2}$OD×OE=$\frac{1}{2}$（cm²），
∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积
=$\frac{90×π×{2}^{2}}{360}$-（$\frac{1}{2}$π-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$（cm²）．
故图中阴影部分的面积为（$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$）cm²．
故答案为：（$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$）．

点评 考查了扇形面积的计算，本题难点是得到空白图形ACD的面积，关键是理解图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积-空白图形ACD的面积-三角形ODE的面积．