Question

10．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，从C点向BD的延长线作垂线，垂足为E．求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 分别延长BA，CE交于点F，根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质可得CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

解答 证明：分别延长BA，CE交于点F，
明：∵∠ABC的平分线交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BFE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BCE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
又AB=AC，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠FAC=∠BAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质．