Question

11．已知：AB＞AC，AD为∠BAC的角平分线，M为AD上任一点，求证：BM-CM＜AB-AC．

Answer 1

分析 首先作辅助线，在AB上取一点E，使AE=AC，连接PE．根据边角边定理判断△AEM≌△ACM，得到ME=MC．根据AE=AC（辅助线）与BE=AB-AE得到BE=AB-AC．在△MBE中，根据三角形中两边之差小于第三边，得到BE＞MB-ME，即BE＞MB-MC，将BE用AB-AE代入，即可证明．

解答 证明：如图，

在AB上取一点E，使AE=AC，连接ME
∵AM为∠BAC的平分线，
∴∠EAM=∠CAM，
在△AEM和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAM=∠CAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ACM（SAS）
∴ME=MC
∵AE=AC
∴BE=AB-AE=AB-AC
在△MBE中，∵BE＞MB-ME
∴BM-CM＜AB-AC．

点评 本题考查全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系．解决本题的关键是恰当添加辅助线，将AB、AC、MB、MC间的关系转化为三角形内边间的关系．