Question

3．已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值为整数的实数k的整数值；
（3）若k=-2，λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，试求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$，然后把x₁+x₂、x₁x₂代入（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$中，进而可求k的值；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=-$\frac{4}{k+1}$，根据$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值；
（3）由k=-2，λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，x₁+x₂=1，得到x₂=$\frac{1}{λ+1}$，x₁=$\frac{λ}{λ+1}$，然后根据x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$=$\frac{1}{8}$，代入即可得到结果．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
∴（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=2x₁²-4x₁x₂-x₁x₂+2x₂²=2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=2×1²-9×$\frac{k+1}{4k}$=2-$\frac{9（k+1）}{4k}$，
若2-$\frac{9（k+1）}{4k}$=-$\frac{3}{2}$成立，
解上述方程得，k=$\frac{9}{5}$，
∵△=16k²-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k=$\frac{9}{5}$，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值；
（2）原式=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2=$\frac{（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-4=-$\frac{4}{k+1}$，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5；

（3）∵k=-2，λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，x₁+x₂=1，
∴λx₂+x₂=1，x₂=$\frac{1}{λ+1}$，x₁=$\frac{λ}{λ+1}$，
∵x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{λ}{（λ+1）^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴λ=3±3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．