Question

（本题满分13分）

如图，抛物线（）与x轴相交于两点E、B（E在B的左侧），与y轴相交于点C（0，2），点D的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，∠ACD=90°．

（1）求点A、B、E的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点M，作MN⊥x轴，垂足为N，使得以M、N、O为顶点的三角形与△AOC相似．

Answer 1

（1）A（1，0），B（3，0），E（-1，0）；（2）；（3）存在，M或M．

【解析】

试题分析：（1）由∠ACD=∠AOC=∠COD=90°，得到∠ACO+∠DCO=90°，∠CDO+∠DCO=90°，故∠ACO=∠CDO，从而有△ACO∽△CDO，得到，又因为点C、D的坐标分别为（0，2），（-4，0），所以，所以点A的坐标为（1，0），因为AB= AE=2，所以点B、E的坐标为（3，0）（-1，0）；

（2）因为抛物线经过C、B、E，所以将（0，2）（3，0）（-1，0）代入即可求得抛物线解析式；

（3）假设存在点M的坐标为，N的坐标为适合题意，分两种情况讨论：①△ACO∽△OMN，②△ACO∽△MON．

试题解析：（1）因为∠ACD=∠AOC=∠COD=90°，所以∠ACO+∠DCO=90°，∠CDO+∠DCO=90°，所以∠ACO=∠CDO，所以△ACO∽△CDO，所以，又因为点C、D的坐标分别为（0，2），（-4，0），所以，所以点A的坐标为（1，0），因为AB= AE=2，所以点B、E的坐标为（3，0）（-1，0）；

（2）因为抛物线经过C、B、E，所以将（0，2）（3，0）（-1，0）代入得：，解得：，，，所以抛物线解析式为：；

（3）假设存在点M的坐标为，N的坐标为适合题意，

①若△ACO∽△OMN，因为∠MNO=∠AOC=90°，则，即MN=2ON，所以，解得或（舍去），

②若△ACO∽△MON，因为∠MNO=∠AOC=90°，则，即2MN=ON，所以，解得或（舍去），

综上可知存在点M和得以M、N、O为顶点的三角形与△AOC相似．

考点：二次函数综合题．