Question

12．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证：?ABCD为菱形．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．

解答 证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{∠DFA=∠BEC}\\{DF=EB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴?ABCD为菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和菱形的判定，关键是掌握据一组对边平行且等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．