Question

4．如图，AE∥BF，先按（1）的要求作图，再按（2）的要求证明
（1）用直尺和圆规作出∠ABF的平分线BD交AE于点D，连接BD，再作出BD的中点O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接（1）所作图中的AO并延长与BE相交于点C，连接DC，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）用作一个角的角平分线和一条线段的中点的作法作图；
（2）欲证明四边形ABCD是菱形，只需推知平行四边形ABCD的邻边相等即可．

解答 解：（1）如图．


（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO=∠CBO．
在△ADO与△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠CBO}\\{OD=OB}\\{∠AOD=∠COB}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
又∵AE∥BF，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD．
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 此题考查菱形的判定，作图-复杂作图．欲证明四边形ABCD是菱形，首先应该证得四边形ABCD是平行四边形，然后才能利用“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”证得（2）的结论．