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【题目】如图,O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是ACB的平分线与O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.

(1)求AC、AD的长;

(2)试判断直线PC与O的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)、AC=8;AD=5cm;(2)、相切,证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)、连接BD,根据AB为直径,则ACB=ADB=90°,根据RtABC的勾股定理求出AC的长度,根据CD平分ACB得出RtABD是等腰直角三角形,从而得出AD的长度;(2)、连接OC,根据OA=OC得出CAO=OCA,根据PC=PE得出PCE=PEC,然后结合CD平分ACB得出ACE=ECB,从而得出PCB=ACO,根据ACB=90°得出OCP=90°,从而说明切线.

试题解析:(1)、如图,连接BD, AB是直径, ∴∠ACB=ADB=90°

在RTABC中,AC===8cm,

②∵CD平分ACB, AD=BD,RtABD是直角等腰三角形, AD=AB=×10=5cm;

(2)、直线PC与O相切,

理由:连接OC, OC=OA,∴∠CAO=OCA, PC=PE, ∴∠PCE=PEC,

∵∠PEC=CAE+ACE, CD平分ACB, ∴∠ACE=ECB,∴∠PCB=ACO,∵∠ACB=90°

∴∠OCP=OCB+PCB=ACO+OCB=ACB=90° OCPC,

直线PC与O相切.

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