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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D,E在⊙O上,连接AE,DE,CD,BE,CE,∠EAC+∠BAE=180°,

(1)判断BE与CE之间的数量关系,并说明理由;

(2)求证:△ABE≌△DCE;

(3)若∠EAC=60°,BC=8,求⊙O的半径.

【答案】(1)BE=CE,理由见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】分析:(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得:∠BCE+∠BAE=180°,则∠BCE=EAC,所以,则弦相等;(2)根据SSS证明△ABE≌△DCE;

(3)作BCBE两弦的弦心距,证明RtGBORtHBO(HL),则∠OBH=30°,OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值,可得半径的长.

本题解析:

(1)解:BE=CE,

理由:∵∠EAC+∠BAE=180°,∠BCE+∠BAE=180°,

∴∠BCE=∠EAC,

∴BE=CE;

(2)证明:∵,∴AB=CD,

,∴AE=ED,

由(1)得:BE=CE,

在△ABE和△DCE中,

∴△ABE≌△DCE(SSS);

(3)解:如图,∵过O作OG⊥BE于G,OH⊥BC于H,

∴BH=BC=×8=4,BG=BE,

∵BE=CE,∠EBC=∠EAC=60°,

∴△BEC是等边三角形,∴BE=BC,∴BH=BG,

∵OB=OB,∴Rt△GBO≌Rt△HBO(HL),

∴∠OBH=∠GBO=∠EBC=30°,

设OH=x,则OB=2x,

由勾股定理得:(2x)2=x2+42,x=

∴OB=2x=,∴⊙O的半径为

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