Question

5．如图，△ABC中，D、E分别为BC、AC上一点，AB=AD，BE=EC．
（1）求证：△FDB∽△ABC；
（2）若AF=DF，求证：DE⊥BC．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角可知∠ABD=∠ADB，∠EBC=∠ECB，从而可证明△FDB∽△ABC；
（2）由AF=DF可知：DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，然后利用相似三角形的性质可知BD：BC=1：2，从而可知BD=DC，最后利用等腰三角形三线合一的性质可得到DE⊥BC．

解答 解：（1）∵AB=AD，BE=EC，
∴∠ABD=∠ADB，∠EBC=∠ECB．
∴△FDB∽△ABC．
（2）∵AF=DF，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}$．
∵△FDB∽△ABC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}$．
∴BD=$\frac{1}{2}BC$．
∴BD=DC．
又∵EB=EC，
∴ED⊥BC．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，利用相似三角形的性质证得BD=DC是解题的关键．