Question

15．在△ABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD平分∠ABC，求AD、DC的长．

Answer 1

分析 由在△ABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD平分∠ABC，易证得AD=BD=BC，△CBD∽△BAC，设AD=x，则DC=10-x，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AD、DC的长．

解答 解：设AD=x，则DC=AC-AD=10-x．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CDB=36°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴AD=BD=BC=x，
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△DBC∽△BAC，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，
即$\frac{x}{10}$=$\frac{10-x}{x}$，
解得：x=-5+5$\sqrt{5}$或x=-5-5$\sqrt{5}$（舍去），
∴AD=-5+5$\sqrt{5}$，DC=10-（-5+5$\sqrt{5}$）=15-5$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．