[题目]如图.已知AB是⊙O的直径.C是⊙O上的点.连接AC.CB.过O作EO∥CB并延长EO到F.使EO＝FO.连接AF并延长.AF与CB的延长线交于D．求证:AE2＝FGFD．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D．求证：AE2＝FGFD．

【答案】详见解析

【解析】

如图，连结BF、BG．由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论．

证明：连结BF、BG．

∵在△AEO和△BFO中，

，

∴△AEO≌△BFO（AAS），

∴AE＝BF．

又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，

∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴∠FBD＝90°，

又∵BG⊥FD，

∴△FGB∽△FBD，

∴＝，即＝，

∴AE2＝FGFD．

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特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

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