Question

如图，已知正方形ABCD中，F为BC延长线上的一点，E为CD上的一点，CE=CF，BE的延长线交DF于点G．
（1）求证：BG⊥DF；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）通过全等三角形△BCE≌△DCF的对应角∠EBC=∠FDC、对顶角∠BEC=∠DEG可以证得△BCE∽△DGE，然后由相似三角形的对应角相等推知∠BCE=∠DGE=90°，即BG⊥DF；
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠CFD=∠BEC=60°，再计算出∠EFC的度数，根据角的和差关系可得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应角相等），
即∠EBC=∠EDG，
又∵∠BEC=∠DEG，
∴△BCE∽△DGE，
∴∠BCE=∠DGE=90°（相似三角形的对应角相等），
即BG⊥DF；

（2）解：连接EF，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CFD=∠BEC=60°，
∵EC=CF，
∴∠EFC=∠CEF=（180°-90°）÷2=45°，
∴∠EFD=60°-45°=15°．

点评：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明△BCE≌△DCF，掌握全等三角形对应角相等．