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【题目】如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=3,AB=5.点P从点A出发,以每秒5个单位

长度的速度沿AC方向运动,过点P作PQAB于点Q,当点Q和点B重合时,点P停止运动,以AP和AQ为边作APHQ.设点P的运动时间为t秒(t>0)

(1)线段PQ的长为   .(用含t的代数式表示)

(2)当点H落在边BC上时,求t的值.

(3)当APHQ与ABC的重叠部分图形为四边形时,设四边形的面积为S,求S与t之间的函数关系式.

(4)过点C作直线CDAB于点D,当直线CD将APHQ分成两部分图形的面积比为1:7时,直接写出t的值.

【答案】(1)4t;(2)t=(3)当0<t≤时, S=12t2≤t≤时,S==﹣t2+t;(4)t的值为s.

【解析】

(1)利用勾股定理求出BC,再根据sinA=,构建方程即可解决问题;

(2)如图2中,因为QHAC,可得,由此构建方程即可解决问题;

(3)两种情形分别求解:①如图3中,当0<t≤时,重叠部分是四边形APHQ.②如图4中,当≤t≤时,重叠部分是四边形ACMQ;

(4)两种情形画出图形分别利用三角形的中位线定理求解即可;

(1)如图1中,

RtACB中,∵AC=3,AB=5,C=90°,

BC==4,

AP=5t,sinA=

PQ=4t,AQ==3t.

故答案为4t.

(2)如图2中,当点H落在BC上时.

QHAC,

t=

(3)①如图3中,当0<t≤时,重叠部分是四边形APHQ.S=12t2

②如图4中,当≤t≤时,重叠部分是四边形ACMQ,

S==﹣t2+t.

(4)①如图5中,∵SHEF:S五边形EQAPF=1:7,CDPQ,

EFHPQ的中位线.

cosA=

AD=

QHAC,

∴∠DQE=A,

cosDQE=cosA=

=

=

t=

②如图6中,当SADC:S五边形CDQHP=1:7时,CDAPQ的中位线.

AQ=2AD,

3t=2×

t=

综上所述,满足条件的t的值为s.

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