Question

18．△ABD中，AB=BD，点C在直线BD上，BD=3CD，cos∠CAD=$\frac{5}{6}$，AD=6，则AC=6或$\frac{42}{5}$．

Answer 1

分析 根据点C在直线BD上，分两种情况进行讨论：①当点C在线段BD上时；②当C在BD的延长线上时，分别根据平行线分线段成比例定理，求得AE与AC的数量关系，最后根据AE的长求得AC长．

解答 解：分两种情况：
①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，

Rt△ADE中，cos∠CAD=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{5}{6}$，即$\frac{6}{AE}$=$\frac{5}{6}$，
∴AE=$\frac{36}{5}$，
∵BD=3CD，DE∥BF，
∴$\frac{CE}{CG}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
设CE=x，则CG=2x，GE=3x，
∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD，
∴AG=GE=3x，
∴AE=6x，AC=5x，
∴AC=$\frac{5}{6}$AE=$\frac{5}{6}$×$\frac{36}{5}$=6；
②如图所示，当C在BD的延长线上时，过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，

∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵CE∥BF，BD=3CD，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{3}$=$\frac{1}{3}$，即DE=1，
∴AE=6+1=7，
∵Rt△ACE中，cos∠CAD=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{6}$，即$\frac{7}{AC}$=$\frac{5}{6}$，
∴AC=$\frac{42}{5}$．
综上所述，AC的长为6或$\frac{42}{5}$．
故答案为：6或$\frac{42}{5}$．

点评 本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，依据平行线分线段成比例定理进行求解．