Question

13．如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E．求证：
（1）BD=CD；
（2）DE⊥AC；
（3）CE=EG．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角是直角，得到AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）由AO=BO、BD=CD知OD是△ABC的中位线，从而得OD∥AC，根据DE切⊙O于D知OD⊥DE，即可得证；
（3）由AB为⊙O的直径知BG⊥AC，结合DE⊥AC得DE∥BG，从而根据平行线分线段定理即可得证．

解答 证明：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；

（2）连接OD．

∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵AO=BO、BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．

（3）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，即BG⊥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE∥BG，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{CD}{DB}$=1，
∴CE=EG．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质及平行线分线段定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．